Rappels sur les suites.
Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. On note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus simplement $(u_n)$. Le terme général $u_n$ est l'image de l'entier $n$.
On distingue deux modes de définition : la forme explicite, où $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$ (par exemple $u_n = 2n + 3$) ; et la forme récurrente, où chaque terme se calcule à partir du précédent (par exemple $u_{n+1} = 2 u_n + 1$).
Soit la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 3$. Les premiers termes sont $u_0 = 1$, $u_1 = 3{,}5$, $u_2 = 4{,}75$, $u_3 = 5{,}375$. On observe que les termes semblent se rapprocher de $6$.
Limite d'une suite.
On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell $$
Cette définition formalise une intuition simple : « les termes finissent par s'approcher aussi près qu'on veut de $\ell$ ». L'animation ci-dessous illustre exactement cette idée pour la suite définie à l'Exemple 1.
Raisonnement par récurrence.
C'est l'outil de démonstration le plus important du chapitre. Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$, il suffit de vérifier l'initialisation ($P(n_0)$ est vraie) et l'hérédité (si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ l'est aussi).
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $n$. Si :
(i) $P(n_0)$ est vraie pour un certain $n_0 \in \mathbb{N}$ ;
(ii) Pour tout $n \geq n_0$, $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ ;
alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.
Énoncé. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $0 \leq u_n \leq 6$, où $(u_n)$ est la suite de l'Exemple 1.
Initialisation. Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $0 \leq 1 \leq 6$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité. Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, on ait $0 \leq u_n \leq 6$. Alors :
$$ 0 \leq \tfrac{1}{2} u_n \leq 3 \;\;\Rightarrow\;\; 3 \leq \tfrac{1}{2} u_n + 3 \leq 6 \;\;\Rightarrow\;\; 0 \leq u_{n+1} \leq 6 $$
La propriété est donc héréditaire. Par récurrence, elle est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. $\blacksquare$
Théorèmes de comparaison.
Quand on ne peut pas calculer directement une limite, on encadre la suite par d'autres suites dont on connaît la limite.
Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites telles qu'à partir d'un certain rang $v_n \leq u_n \leq w_n$. Si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge également vers $\ell$.
La vidéo ci-dessous illustre visuellement pourquoi ce théorème est intuitivement évident — et donne un exemple d'application sur la suite $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$.
L'essentiel sur 2 pages.
Toutes les définitions, théorèmes et méthodes du chapitre, prêts à imprimer pour réviser avant un DS ou le bac.
Exercices d'application.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leq u_n \leq 2$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$.
3. En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Pour la question 2, étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$, soit $\sqrt{u_n+2} - u_n$. Multiplier par la quantité conjuguée.
1. Initialisation : $u_0 = 0$, donc $0 \leq u_0 \leq 2$. Hérédité : supposons $0 \leq u_n \leq 2$, alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, et par croissance de la racine, $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$. A fortiori $0 \leq u_{n+1} \leq 2$.
2. $u_{n+1}^2 - u_n^2 = u_n + 2 - u_n^2 = -(u_n - 2)(u_n + 1) \geq 0$ pour $u_n \in [0, 2]$. La suite est donc croissante.
3. $(u_n)$ est croissante et majorée par 2, donc converge. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, qui donne $\ell = 2$ (l'autre racine étant négative). $\blacksquare$
Étudier la limite de la suite définie pour $n \geq 1$ par $u_n = \dfrac{\cos n + n}{n}$.
Décomposer la fraction et encadrer le terme contenant $\cos n$.
On écrit $u_n = \dfrac{\cos n}{n} + 1$. Comme $-1 \leq \cos n \leq 1$, on a $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\cos n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$. Les deux suites encadrantes tendent vers 0 ; par le théorème des gendarmes, $\dfrac{\cos n}{n} \to 0$. Donc $u_n \to 1$. $\blacksquare$
Pour aller plus loin.
Une fois le chapitre maîtrisé, deux pistes pour pousser : les suites adjacentes (préparation à l'analyse en prépa), et les suites de Cauchy (notion universitaire). La chaîne YouTube contient une vidéo introductive sur la dichotomie, méthode algorithmique fondée sur le théorème des valeurs intermédiaires.
Scanne pour voir le chapitre en animation.
Démonstration commentée des récurrences et application du théorème des gendarmes — sur ma chaîne YouTube @souleymanekante7972.